대스마

이전 포스트에서 거듭제곱 에 대해 얘기했다. 여기서 a^(x/y)가 유리수일지에 의문만 던지고 갔는데, 여기에 대해 알아보자. 우선 a,x,y가 자연수일 때부터 생각해보자. 임의의 자연수에 대해서 소수의 조합으로 나타낼 수 있다고 앞 에서 얘기했었다. N=(p(1)^(n(1))*...*(p(m)^(n(m))) p(i) (i는 1에서 m까지의 자연수) 는 소수 n(i)는 자연수 N^k = (p(1)^(k*n(1)))*...*(p(m)^(k*n(m))) (k는 1이 아닌 자연수) 자연수의 k제곱은 소수(prime number)의 k배수 제곱의 곱으로 이루어져 있다. 그럼 소수 p를 보자 p=(p^(1/k))^k (k은 자연수) 로 나타낼 수 있다. p^(1/k)=a/b (a,b는 서로소)라고 가정해보자. 유리수라고 가정해본 것이다. 서로소라는 건 a,b 두 자연수의 1 외에 공약수가 없다는 의미이다. 양변을 k제곱하면, p=(a^k)/(b^k) 이렇게 될 것이다. a^k=(b^k)*p 가 될 것이다. a^k는 자연수이고, p의 배수이다. a^k가 p의 배수라는 얘기는 p^k의 배수라는 얘기이다. 자연수의 k제곱은 소수(prime number)의 k배수 제곱의 곱으로 이루어져 있다. 이 문구를 잘 생각해보라. k는 1이 아닌 자연수이므로, 1보다 크므로 k-1은 자연수가 된다. a^k=(p^k)*(c^k) 라고 하자. b^k=(p^(k-1))*(c^k) 이다. b^k는 p^(k-1)의 배수, b^k는 p^k의 배수라는 얘기이다. 위에 있는 문구를 잘 생각해보라 b^k=(p^k)*(d^k)라고 하자. a=(a^k)^(1/k), b=(b^k)^(1/k) a=pc, b=pd가 된다. 위에 가정에서 p^(1/k)=a/b, a,b는 서로소라고 했는데, 도출해서 나온 결과는 a,b 공약수가 1외에 p라는 수가 있다는 점이다...

이전 포스트 에서 나눗셈에 대해 알아보았다. 사실 곱셈의 역연산으로써 정수에서 유리수로 이끄는 나눗셈이긴 하지만 말이다. 자연수 N에 대해, N=nq+r (0=< r < n) n,q,r은 자연수 으로 표현할 수 있을 것이다. 이 때 표현을 N을 n으로 나눌 때, 몫은 q이고, 나머지는 r이라고 한다. N/n = q + r/n 으로도 나타낼 수 있을 것이다. 여기서 r=0 이면, N/n=q로 자연수가 될 것이다. 그러면, N은 n으로 나눠 떨어진다고 표현할 수 있다. N=abcd 로 표현할 수 있다고 하자. 각 문자는 전부 자연수이다. 그러면, N은 a,b,c,d 각 문자에 대해 나눠떨어진다고 할 수 있고, a,b,c,d 는 N의 약수라고 할 수 있다. N은 각 문자들의 배수라고 할 수 있다. M=bcdf 라고 표현할 때, N과 M이 공통으로 가지고 있는 약수가 있는데, b,c,d 이다. b,c,d는 N과 M의 공약수가 될 것이다. L=abcdf 가 있을 때, L=Nf=aM 이 되므로, L은 N과 M의 공배수가 된다. N의 약수를 알아보자. 우선, 한 문자만 있는 게 약수일 것이다. a, b, c, d 두 문자를 곱한 것도 약수일 것이다. 두 문자 소거해도 나머지 두 문자가 남아서 자연수이기 때문이다. ab, ac, ad, bc, bd, cd 세 문자를 곱한 것도 마찬가지이다. abc, abd, acd, bcd 네 개 문자를 다 곱한 것도 약수이다. 소거하면 1이 남기 때문이다. abcd 임의의 자연수를 1로 나누면 그 자연수 그대로 나오므로, 1은 모든 자연수의 약수이다. a,b,c,d가 서로 다른 자연수이고, 전부 1이 아니라고 하면, N의 약수는 1 포함해서 16개의 약수가 나온다. 하지만, 각 문자가 공약수가 더 있는지 모르는 상태이다. 자연수의 약수가 무엇이 있는지 분석하...

같은 수를 여러번 더했을 때, 곱셈을 쓰지 않았는가? 같은 수를 여러번 곱하면 어떻게 표현할 것인가? 이 때 거듭 제곱을 쓸 것이다. 규칙은 일단, 유리수 a, 자연수 n에 대해 1. a^1=a (한 번 곱했으니 자기 자신이 되는건 당연하다.) 2. a^n'=(a^n)*a (*를 곱셈 기호로 쓰겠다.) 여기에서 확장을 해보자. a^0'=a^1=(a^0)*a=a 1*a=a 이므로, a^0=1 이어야 한다. 여기에서 더 확장하면, a^0=(a^(-1))*a=1 a^(-1)=1/a 가 된다. a^(-k)=1/(a^k)라고하자 a^(-k)=(a^(-k'))*a 1/(a^k)=(a^(-k'))*a (1/(a^k)*(1/a)=(a^(-k')) 1/((a^k)*a)=(a^(-k')) 1/(a^k')=a^(-k') 모든 자연수 n에 대해, a^(-n)=1/(a^n) 1/(a^(-n))=1/(1/(a^n))=(1/1)/(1/(a^n)) =a^n=a^(-(-n)) 즉, 모든 정수 p에 대해  a^(-p)=1/(a^p) a^(b+c)에 대해 생각해보자. a는 유리수, b는 정수, c는 자연수라고 하자. 일단 a^(b+1)=a^b x a= a^b x a^1 a^(b+k) = a^b x a^k 라고 하자. a^(b+k')=a^(b+k)'=a^(b+k) x a^1 =(a^b x a^k) x a^1 =a^b x ( a^k x a^1) =a^b x a^k' 따라서 임의의 자연수 c에 대해 a^(b+c) = a^b x a^c a^(b+(-c))에 대해 생각해보자. (a^(b+(-1)))*a=a^b a^(b+(-1))=(a^b)/a=a^b x 1/a=a^b x a^(-1) a^(b+(-k))=a^b x a^(-k) 라고 하자. (a^(b+(...

덧셈의 소거 에 대해서도 했으니, 곱셈의 소거에 대해서도 충분히 논할 수 있을 것이다. 0이 아닌 정수 r에 대해 pr=qr => p=q 이러한데, 이걸 표시할 형식이 있으면 좋을 것 같다. 곱셈의 소거를 나눗셈이라하고 형식은 p=pr/r 또는 pr  ÷ r 0이 아닌 정수에서 저렇게 소거를 할 수 있는데, 임의의 정수 p, q에 대해서, p/q 의 값이 정수가 되느냐를 생각해 봐야 할 것이다. 우선 자연수에 대해 생각해보자. n+d=m (세 문자 다 자연수) 그러면, n<m이고, ml=(n+d)l=nl+dl 이므로, nl<ml이 된다. n은 nl/l, m은 ml/l 이므로, nl<ml이 되려면, nl/l < ml/l 이 되어야 한다. 그러면, 논리의 일관성을 가지기 위해, 임의의 자연수 p,q,r 에 대해서, p<q 가 되려면, p=(p/r) x r , q=(q/r) x r 이므로,  p/r < q/r 이어야 할 것이다. n<m 일 때를 생각해보자. 이 때, n/m < m/m 이렇게 될 것이다. m/m=1 이므로, n/m < 1 이다. n/m 의 크기를 어떻게 정해야 할까? 그리고 우리가 앞에서 얘기했던 정수에 속하는가? 우리가 알고있는 것에서 부터 얘기해보자. 임의의 자연수 n에 대해, 0<n 이다. 거기에 0=m x 0 = 0 x m임을 생각하면, 0=(0 x m)/m=0/m 이다. 임의의 정수 p, q 와 임의의 자연수 n에 대해 p<q 일 때, pn<qn 이 된다. 앞에서 n,m은 자연수이고, 0<n<m 이다. 이걸 다르게 표현하면, (0/m) x m < (n/m) x m < (m/m) x m 그리고 이걸 m으로 나누면, 0 = 0/m < n/m ...

이전 포스트 에서 '-' 기호와 뺄셈, 정수에 대해 얘기했고, 덧셈의 성질과 '-' 기호를 이용해 임의의 자연수 n에 대해, 0과 S(n)의 순서를 확장시킬 수 있는지 보았다. 이전 포스트 에서도 언급했듯이 정수가 자연수를 포함하는 집합이고, 자연수와 일관된 구조의 순서이면, 임의의 정수 x에 대해서 ...<x<x'<... 이런 식으로 정렬할 수 있을 것이다. 이전 포스트 에서는 그 예를 보여줬다. 0'=1, (S(1))'=0 이렇게 말이다. 임의의 정수 x,y에 대해서도, 임의의 자연수 n에 대해, x+n = y 이면, x<y 가 성립한다. 자연수의 덧셈 성질과 뺄셈을 이용해 정수의 정렬을 할 수 있으므로,  정수에 대해서도  자연수 덧셈  규칙을 확장, 적용할 수 있을 것이다.   자연수 덧셈 을 다시 언급하면, 임의의 자연수 n에 대해서, n+1=n' 임의의 자연수 n,m에 대해서, n+m'=(n+m)' 이런 식이다. 이 규칙의 자연수 n,m에 정수를 넣어서 자연수와 일관성있게 돌아가는지 보자. 임의의 정수 x,y에 대해서 1. 임의의 정수 x 에 대해, x+1=x' 2. 임의의 정수 x, y 에 대해 x+y'=(x+y)' 1번의 결과는 임의 정수 그 다음 수이니, 당연히 정수이다. 2번의 결과는 x+1이 정수다. 그리고, x+y가 정수일 때, (x+y)'=x+y'가 x+y 다음 수이므로, 정수가 된다. 즉, 정수의 덧셈의 결과는 정수가 된다는 뜻이다. 결합법칙부터 알아보자. x+(y+z)=(x+y)+z 에서 z=1일 때, x+y' = x+(y+1) = (x+y)' = (x+y)+1 이렇게 되므로, 결합법칙이 성립된다. 임의의 z=t라고 할 때, ...

이전 포스트에서 자연수에 크기 에 대해 알아보았다. a,b가 자연수일 때, a>b 일 때, a=b+k, k는 자연수 이런 식으로 성립이 된다. a=b+k=k+b 인데, a라는 수에서 b를 소거하면, k가 될 것인데, 소거 법칙을 형식화 하는 방법에서 고안된 것이 '-' 기호를 통한 방법이지 않을까 싶다. 이 기호에 대한 얘기는  수학에서 정식적으로 정하는 것과는 다를 수 있는  개인 생각으로 하는 것이므로 그냥 재미삼아 읽어보면 되겠다. (k+b)-b=k 로 표현하면, k+b에서 b를 소거하면 k가 남는다는 얘기를  형식적으로 표현한 것이 아니겠는가? k+b=a 이므로, a-b=k 가 될 것이다. 즉, a>b일 때, a-b의 결과는 자연수가 된다는 얘기이다. 이를 '-' 연산의 규칙으로 만들 수 있을 것이다.  만약에 a=b일 때는 어떨까? a에서 a를 소거하면, 아무것도 남지 않는다. 그렇다면, a-a를 어떻게 표현할 것인가? 아무것도 없는 것에 대한 표현을 a-a=0 이런 식으로 하면 될 것이다. 이것도 하나의 규칙이 될 수 있을 것이다. 0은 자연수로 치부하기도 하지만, 이전 포스트들에서는 0을 자연수로 보지 않았기 때문에, 자연수라고 하는 집합과 다른 집합을 정의해야 한다. 일단, 이건 이후에 생각해보자. 이제, a<b일 때, 어떻게 정할지 생각하자. 이 때, a-b는 뭐라하기가 어렵다. b=a+l, l은 자연수, 이라고 하면, a-(a+l)이 되는데, 이 값은 자연수라고 보긴 어렵다. 일단, b-a=(a+l)-a=(l+a)-a=l 이다. (a+l)-a=l 니까, a-(a+l)은 위에 식 a+l과 a를 교환한 형태니까, 스와핑 Swapping에 S를 따서  a-(a+l) = S(l) 이라 해보자. 스와핑은 찾아보면 19금 관련한...

나이 많은 사람들이 흔히 나이 먹을수록 시간이 빨리간다는 얘기를 많이 한다. 꼭 나이 많은 사람들이 아닐지라도 동일한 느낌을 받는 모양이다. 젊은 사람들 입에서도 그런 소리가 나오니 말이다. 위에 말을 동일하게 할지라도, 말하는 빈도나 태도를 보면, 나이든 사람이 진심으로 깨달은 상태에서 말하는 것 같다. 도대체 저런 느낌을 왜 받는지 생각해보았다. 사람의 움직임 속도는 빛의 속도에 비해 미미하기 때문에 상대성 이론을 적용해봐야 시간흘러가는 차이는 거의 없을 것이고, 움직이는 속도는 젊은 사람이 오히려 더 빠를 것이 아닌가? 그렇다면 느낌을 어떻게 받는지 매커니즘을 파악해야하지 않을까? 먼저, 저 문장이 객관적인 판단인지 주관적인 판단인지 봐야할 것이다. 저 말은 객관적인 지표를 토대로 판단했다기 보다 자기의 느낌을 말한 것일 것이다. 느낌이란 건 신체에 받은 자극이고, 느낌을 말로 뱉은 건 그에 대한 표현일 것이다. 주관적 판단은 머리 속의 기억을 회상하면서 신체에 자극이 되는 것이고, 머리 속의 기억으로 지나온 시간을 파악하면, 엄청 빠른 속도로 재생될 것이다. 인간이 기억할 수 있는 용량에 한계와 단위 시간당 회상해낼 수 있는 능력의 한계로 지속적인 회상이 아니라 순간적으로 인생의 느낌을 판단하려고 회상하는 시간은 지극히 짧기 때문에 편집된 기억들이 무수히 많을 것이기 때문이다. 대화하다가 지나가는 얘기로 자신의 일생을 회상하는 얘기를 한다면, 인간의 회상 시간의 편차가 그렇게 크지 않을 것이기 때문에, 회상 시간을 상수로 넣고, 이를 분모에 넣어보고, 지나온 세월을 분자에 넣는다면, 느끼는 세월의 속도는 지나온 세월/회상 시간 이런 식으로 될 것이다. 나이가 많이 먹었으면, 분자에 해당하는 지나온 세월이 커질 것이고, 분모는 거의 일정하니 세월의 속도가 빠르게 느껴지는 건 당연한 현상이다. 또 하...