대스마

이전 포스트에 정수에 대한 n 진법을 했고, 이번엔 유리수에 대한 n 진법에 대해 얘기하겠다. 유리수를 R = N + a ( N을 정수, 0=<a <1) 로 나타낼 수 있고, 1보다 작고 0보다 큰 양의 유리수 a에 대해 살펴보겠다. a같은 수를 소수( 小數 ) 라고 한다. a를 n 진법으로 나타내보자. 일단 a에 n을 곱해보겠다. a*n = b(1) + c  b(1)은 0 =< b(1) < n 인 정수 0 =< c < 1 인 유리수 이 때, 결과는 이런 식으로 쓸 수 있겠다. 이제 c에 대해 n을 곱해보자. c*n = b(2) + d               b(2)는 0 =< b(2) < n 인 자연수 0 =< d < 1 인 유리수 이런 식으로 가장 끝에 자연수가 나올 때까지 반복하면 a = b(1)/n + ... + b(m-1)/(n^(m-1)) + b(m)/(n^m) 0=< b(1), ... , b(m-1), b(m) < n 인 정수 으로 n 진법 유리수로 나타낼 수 있다. 그림으로 나타내면 이런 식이다. 뒤에 소수( 小數 )에 n을 곱하는 과정을 계속해서 최후에 0 이상의 정수가 나올 때까지 계산하고, 계산 과정에서 나온 정수를 화살표 방향으로 차례대로 분자에 기입하면 된다. 정수를 나타낼 때는 나누면서 진행했는데, 소수( 小數 )를 나타낼 때는 반대로 곱하면서 진행하는 점이 특징이다. 유리수 r = 7/10 + 5/(10^2)  를 2진법으로 변환시켜보자. 유리수 r에 2를 곱해보자. 2*r = 1 + 4/10 + 1/10 = 1+ 5/10 5/10 * 2 =1 r = 1/2 +1/(2^2) 이렇게 이진법으로 표현할 수 있...

흔히, 십진법이니, 이진법이니 하는 얘기를 들어본 적이 있을 것이다.  십진법은 0에서 십 이전의 자연수까지 고유의 기호를 쓰다가 십이 되면 기존 기호의 조합으로 수를 넣을 칸을 한 칸 더 만드는 식이고, 이진법은 0에서 이 이전의 자연수까지 고유의 기호를 쓰다가 이가 되면 십진법과 같은 시스템으로 돌아가는 방식이다. 십진법 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 이렇게 고유의 기호를 만들고 9 다음의 수를 한 칸에서 한 칸 더한 두 칸을 넣어서 1과 0의 조합으로 10을 만들어 주는 식이다. 이진법 0 1 1 다음의 수는 10이 되는 식이다. 이런 식으로 진법을 따졌을 때 일진법은 말 할 수 없을 것이다. ( 일진법에 해당하는 단항 기수법이 있긴하다. 그런건 기호의 조합이 아니라 작대기만 긋는 행위라 앞의 표기 체계와는 좀 다른 걸로 봐야 한다. ) 1 이전의 수가 0인데, 0으로 무슨 수를 만들겠는가? 0말고 만들 수 있는게 없다. 그러므로 n진법을 정할 때, 최소가 될 수 n은 2가 될 것이다. 그러면 n진법에 대해서 생각해보자. n이전의 수를 m이라고 했을 때, 0 1 ... m 이런 기호를 만들 수 있을 것이다. m 다음에 n이 되는데, n진법에서는 n = 10 이 된다. 2*n을 하면, n이 2보다 크면, 20으로 표기할 수 있다. 이런 식으로 두 자리 수를 표기하다가 n진법에서 두 칸에서의 조합의 마지막 수인 mm 의 다음 수를 정해야 하는데,  한 자리 더해서 100으로 정할 수 있을 것이다. 또, m*n = m*10 =m0 인데, m*n + 1*n=  m*10 + 1*10 = (m+1)*10 10 = n = m+1이므로, 10*10 = 10^2 = 100   이런 식으로 될 것이다. 100 = 10^2 이 됨을 알 수 있다. 여기서 10이면,...

덧셈 법칙을 보면, a(b+c) = (b+c)a = ab+ac 이다. 이 결과를 확장해서 (a+b)(c+d)를 보자. (a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d =ac+bc+ad+bd 가 된다. 각 괄호의 인자 중 하나 씩 골라서 곱한 것이라고 볼 수 있다. ac는 앞의 괄호 a와 뒤의 괄호 c를, bc는 앞의 괄호 b와 뒤의 괄호 c를, ad는 앞의 괄호 a와 뒤의 괄호 d를, bd는 앞의 괄호 b와 뒤의 괄호 d를 곱했다. X={ a, b }, Y={ c, d } 일 때, S={ xy ㅣ x ∈ X ∧ y ∈ Y } 를 만들어 X 원소의 합과 Y 원소의 합을 곱할 때, S 원소의 합이 된다는 식으로 표현 할 수 있겠다. (a+b)(c+d)(p+q) 를 보자. (a+b)(c+d)p + (a+b)(c+d)q 가 된다. 각 항을 풀어쓰면, a, b 중의 한 수와  c, d 중의 한 수,  그리고 p, q 중의 한 수를 골라서 곱한 조합의 합이 된다. X={ a, b }, Y={ c, d }, Z={ p, q }일 때, T={ xyz ㅣ x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ z ∈ Z  } 를 만들어 X 원소의 합과 Y 원소의 합, Z 원소의 합을 곱할 때, T 원소의 합이 된다는 식으로 표현 할 수 있겠다. ( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) ) 에 대해서 X_1 = { a(1), b(1) } , ... , X_k = { a(k), b(k) } 라고 할 때, S_k = { x(1)*...*x(k)ㅣx(1) ∈ X_1 ∧ ... ∧ x(k) ∈ X_k } 를 만들어보자. x(1)* ... *x(k)의 뜻은 X_1 에서 X_k 까지 각 집합에서 하나만 뽑아서 곱했다는 소리다. X_1의 원소 합과 순서대로 계속 X_k의 원소합까지 곱한다고하면, 즉, ( a(1)+b(1) )* ... * ...

지난 번에  함수 개수 거듭제곱 를 다루었다. 이번 포스트에서는  이 두 포스트에서 다루지 못했던 부분을 보충해서 다루고자 한다. 임의의 실수 a에 대해서 a^0=1 이고, 또, 임의의 실수 x, y 에 대해, 0<x<y 일 때, 생각하면, a의 상태에 따라 달라진다. a>1 이면, a*a>1*a=a 이고, a를 곱할수록 수가 커진다. 임의의 실수 r까지 확장해서, a^r 에 r을 보면, r이 클수록 커짐을 알 수 있다. 따라서, a^x < a^y 임을 알 수 있다. a=1 일 때는 x, y 하고 관계없이 1로 일정하다. a<1 이면, a*a<1*a=a 이니까, a를 곱할수록 수가 작아진다. 역시 실수까지 확장시키면, a^x > a^y 임을 알 수 있다. 종합해보면, r>1 일 때, x < y < 0 < z < w 이면, r^x < r^y < 1 < r^z < r^w 이런 식으로 된다. 그런데, 그 임의의 실수에 0이 포함될 수 있을까? 임의의 실수 a에 a*0=0 이고, 0까지 포함하면, 0*0=0 이게 되면, 0을 계속 곱하면 0이 되고 임의의 실수까지 확장해서 x<y 일 때, 0=0^x = 0^y 이다. 이러한 사실로 볼 때, 0^0 이 두 가지로 나타내어질 수 있다. 전자의 임의의 실수 논리로 보면, 0^0=1 이 된다. 하지만 후자의 0의 지수 논리로는 0^0=0 이 된다. 한 가지 형식에 두 가지 값을 가지는 이상 현상이 생긴다. 그리고 1=0 이 되는 모순이 생기게 된다. 두 가지 합당한 논리로 전개했을 때,  0^0에 대해 모순이 생기므로 0^0 에 대해 1이다 0이다하고 정하는 분야들이 있다. 하지만 통상적으로 그에 대한 정의는 안하는 쪽으로 본다. 여기까지 0^...

이전 포스트에서 함수 에 대해서 설명했다. 다시 상기하면, 정의역이 되는 집합이 있고 대응시킬 집합인 공역이 있다. 그 집합의 모든 원소들이 대응되며, 각 원소는 단 하나의 공역의 원소에 대응되어야 한다. 정의역, 공역이 아래와 같이 있을 때, f A           B a           x b           y c           z d             만들어 낼 수 있는 함수는 몇 개가 있을까? 우선, a는 x,y,z 중 하나를 고를 수 있다. 나머지 b, c, d 도 마찬가지이다. a에 대응되던 원소에 다른 원소가 대응되어도 함수가 되기 때문이다. 정의역인 A의 원소가 공역인 B의 원소에 하나만 가면 된다. 그러니까 A의 각 원소는 고를 수 있는 경우가 3 가지 인 것이다. 4개 원소가 동시에 대응되어야 함수가 되므로, 정의역에 대응되는 공역의 순서 조합을 ( p, q, r, s ) 이렇게 나타낼 수 있다. p,q,r,s는 B의 원소여야 하므로, 공역의 순서 조합 집합은 { (p,q,r,s) ㅣ p∈B ∧ q∈B ∧ r∈B ∧ s∈B } 이런 식으로 나타낼 수 있고, 이 집합은 B x B x B x B 로 나타낼 수 있다. 여기서 합집합의 크기와 곱집합의 크기에 대해 잠시 알아보자 합집합은 A∪B 의 개수가 n(A) + n(B) 일 때가 있는데, A∩B 가 공집합일 때이다. 이 사실로 곱집합의 갯수를 알아보자. (a,b)가 A x B 의 원소라고 하면, 순서쌍의 원소 하나만 달라져도 다른 원소이니, 임의의 두 순서쌍의 교집합은...

이전 포스트 에서 무한의 크기를 알아봤는데, 실수와 자연수 집합 크기의 관계를 규명하고자 글을 쓴다. 이 관계를 규명하기 위해서 멱집합( Power set )을 이용한다. 그래서 멱집합에 대해 먼저 얘기해보겠다. 집합 A가 있다고 하자. 그러면, A의 부분집합이 있을건데, 집합 A의 부분집합을 모아놓은 집합이 멱집합이다. 부분집합의 수는 해당 집합의 멱집합의 크기와 같다고 할 수 있다. 멱집합의 크기는 어떻게 정할 수 있을까? 이걸 얘기하기 전에 함수관계 수를 얘기하도록 하겠다. f : A -> B 가 있으면, A와 B의 연결을 여러가지 방식으로 할 수 있을 것이다. A에 있는 원소 a가 B에 있는 원소 아무 곳에나 갈 수 있기 때문에, 이 경우에 대한 수는 B의 크기와 같을 것이다. A의 다른 원소들도 마찬가지 이므로, 조합의 수는 각각 곱해야 된다. 각 경우에 대해 수형도를 그려보면 알 수 있을 것이다. 그러면, f의 함수 관계의 수는  (n(B))^(n(A)) 이렇다. A가 3개이고, B가 4개이면,  3^4=81 개의 함수를 만들 수 있다는 얘기다. 멱집합 얘기로 돌아와서 부분집합은 해당 집합의 원소를 넣느냐, 안 넣느냐로 결정되므로, 부분집합에 대한 표현은  해당 집합과 S={넣는다, 안 넣는다} 집합의 함수 관계로 만들 수 있다.  집합 A와 S의 함수를 만들 수 있는 함수의 수는 (n(S))^(n(A)) n(S)=2 이므로, 2^(n(A)) 가 된다. 따라서 A의 멱집합의 수는 2^(n(A)) 개가 된다. 멱집합과 해당 집합의 크기는 어떻게 될까? A의 멱집합을 P(A)라고 하자. P는 멱집합( Power set)의 머리글이다. f : A -> P(A) 함수가 있다고 하자. f(x)={x} 라고 하면, f는 일대일 함수가 된다. ...

이전 포스트 에서 무한에 대해 얘기했었다. 대표적인 무한 집합으로 자연수를 얘기했는데, 과연 자연수 집합의 크기보다 큰 집합이 있는지 궁금하다. 그래서 자연수보다 더 큰 집합인 정수, 유리수, 실수의 크기를 알아보도록하자. 정수는 Z, 유리수는 Q, 실수는 R로 놓고 앞으로 얘기를 전개해보겠다. 먼저 집합 Z 부터 보자. 자연수 집합 N과 Z를 함수관계로 만들때, 일대일 대응이 존재하면, 둘의 집합 크기는 같을 것이다. N은 Z의 진부분집합이고, N이 무한집합이므로 Z도 무한집합일 것이다. 둘 다 무한집합이므로, f : Z -> N 에서 일대일 대응인 f가 존재할 것이라는 말도 할 수 있을 것이다. 만약에 존재하면, 두 집합을 대등하다 볼 수 있을 것이다. f Z     N 0 -->1 -1--->2 1--->3 -2--->4 2--->5 . . . f(x) = 2x+1 (x>=0)     = -2x     (x<0) (x는 Z의 원소) 이런 조건으로 함수를 만든다고 하면, Z의 모든 원소는 충분히 N의 모든 원소와 일대일 대응관계를 만들 수 있을 것이다. 그래서, N~Z ( N과 Z는 대등관계) 이며, N과 Z의 크기는 같다. 정수와 같이 자연수의 크기와 같은 집합을  가산집합(countable set)이라고 한다. 수를 세는 방법을 쓸 수 있는 집합이라는 뜻이다. 이번엔 Q에 대해 알아보자 N은 Q의 진부분집합고, N이 무한집합이니 Q도 무한집합이다. Q의 원소는 a/b (a,b 정수)로 표현할 수 있으므로, Z x Z 로 표현할 수 있겠다. f : Z x Z -> Q 가 일대일 대응이 되는 f 가 존재 그러므로, Q ~ Z x Z 이다. X~...

무한, 끝이 없다는 말을 많이 들어봤을 것이다. 기호로는 뫼비우스 띠 닮은  ∞  이런 식으로 표기한다. 숫자 8을 90도로 기울인 모양이다. 무한의 표기는 어떻게 했다고해도 무한의 의미는 알기 힘들다. 가장 알기 좋은 방법은 집합과의 관계를 이용해서 표현이 아닐까 한다. 집합이란게 딴 거 없다. A={ a, b, c } 이런 걸 집합이라고 한다. a, b, c를 모은 집합이 A라는 뜻이다. 조금 더 발전된 형태로 문자와 그 특징을 표현해서 집합을 나타낼 수 있다. N={ x ㅣ x는 자연수 } x는 자연수인 집합 N 이렇게 말이다. N={1,2,...} 이렇게 표현할 필요가 없으니 조금 낫다고 볼 수 있다. 특징을 표현하려면, 참과 거짓이 분명히 드러나게 해야할 것이다. 그래야지 집합에 들어갈 수 있는 지 파악할 수 있지 않겠는가? 좀 전의 집합과의 관계라고 했는데, 두 집합 사이의 관계이다. 집합 A와 집합 B의 원소들의 관계를 만드는 일 말이다. 관계 중에서 특별한 관계가 있는데, 이게 함수 관계이다. f : A -> B 로 표현할 수 있는데, 이 때, A를 정의역이라고 하고, 첫번째, 모든 A의 원소가 B의 원소에 대응되어야 한다. 대응이란게 f라는 관계로 맺어져야 한다는 의미이다. 두번째는 각 A의 원소는 B의 원소 중 하나에만 대응되어야 한다. A의 원소 a가 있으면,  B의 원소 중 하나에만 관계가 맺어져야 한다는 뜻이다. a를 f로 관계 맺은 값을 f(a)라고 하면, f(a) 값이 여러개가 되면 안 된다는 말이다. 간단하게 그리면 f A        B a ---> x b ---> y c ---- ↗ 이런 식의 관계를 맺게끔 하면,  f : A -> B 는 함수관계라는 것...