대스마

혼자 동떨어진 곳에 살지 않는 이상 살면서 다른 사람들과 엮일 수 밖에 없다. 엮이는 사람들 중에 좋다 생각드는 사람도 있고, 나쁘다 생각드는 사람도 있을 것이다. 뭐 좋은 사람만 만나고 살 수 있다면야 참으로 좋겠지만, 인생이 뭐 마음가는대로 돌아가는가? 나쁘다 생각되는 사람 중에 한 번 보고 말 관계면, 그냥 만나지 않으면 되니 별로 신경 쓸 게 없다. 물론 자주 색다른 나쁜 인간을 만나게 되면 얘기가 조금 달리지지만 말이다. 하지만 가장 골치를 썩이는 경우는 계속 만나야 하는 나쁜 사람이다. 악연의 정의를 어떻게 해야할 지 모르겠지만, 관계가 지속되는 나쁘다 생각되는 사람을 얘기하면 맞지 않을까 생각든다. 악연이란 개념이 상대적이라 할 수 있지만, 상대적이라고 해서 없는 개념으로 치부하고 무시할 만한 것은 아닌 듯 하다. 이상하게 이해관계나 취향이 안 맞는 사람이 있기 때문이다. 뭐, 서로 타협하거나  자신이든 상대방 쪽이든 일방적으로 맞춰주는 방향으로 가서  악연을 없애는 방법도 있지만, 그게 쉬운 일은 아니다. 일단 타협이란 것은 서로가 참고 감내해야 하는 게 있다는 얘기이므로, 본디 자신이 갖고 있는 육체적, 정신적 리듬과 다르게 행동해야 한다. 즉, 자신에게 맞는 흐름의 방향이 있으면, 방향을 바꿔야 할 일이 많아진다는 얘기이다. 즉, 스트레스가 누적된다는 얘기이다. 우리가 육체적인 부분은 눈에 보이기 때문에 한계가 있음을 인식하지만, 정신적 요소인 인내심이 눈에 보이지 않기 때문에 무한한 것으로 착각할 수가 있다. 하지만 아니다. 정신적 요소도 우리 몸과 연결되어 있으므로, 물리적 법칙이 적용되는 세계와 유리된 세계가 아니라는 관점에서 보면 스트레스 누적으로 몸과 정신이 피폐함을 가져오게 된다는 걸 알 수 있다. 서로가 만나는 빈도가 높을수록 이런 속도가 더 빨라지게 되며, 관계가 지속적이기 힘...

살면서 다른 사람이 자신에게 불평을 하거나 대화 속에 없는 또 다른 사람에 대한 불만을 듣는 경우가 종종 있다.  전자의 경우는 부정적인 의미에서 전에는 안 그랬는데 변했다 같은 얘기일 것이고, 후자의 경우는 나만 시킨다, 나만 꾸중 듣는다 같은 얘기가 될 것이다. 한 번 생각을 해보자. 다른 사람이 어떤 반응을 하든 똑같은 반응을 보인다면 이게 정상적인 사람의 반응일까? 특정인만 일을 시키고 꾸중하는 현상은 아무 이유없이 나왔을까? 저런 소리 하는 사람들은  자신의 현재 관점에서만 현상을 보기 때문에  저런 반응들이 나온다고 본다. 역지사지가 되지 않고,  평소에 자신의 행위를 돌아보지 않으니 맥락을 잡지 못한다는 얘기가 되겠다. 정신머리가 제대로 박힌 사람이라면  처음 본 상대에게 아주 친절하진 않더라도 적어도 무례하게 대하지 않을 것이다. 웬만하면 좋게 넘어가거나 할 것이다. 괜히 적을 만들어 인생을 피곤하게 할 필요가 없으니 말이다. 그렇기에 상대방의 어리석고 멍청한 짓이 한 두번으로 끝나서  피해가 거의 없으면 부드럽게 넘어갈 것이다. 문제는, 그런 행위가 지속적이고 피해가 자신에게 큰 스트레스로 작용되었다면 그걸 가만히 참고 있을 수 있겠는가? 이전과 다른 반응을 보이며 경고를 하여 피해를 입지 않도록 할 것이다. 다른 사람에 대한 반응이 그러하면, 다른 사람도 자신이 그런 행동을 했을 때  동일한 매커니즘으로 반응을 보일 거라는 예상을 할 수 있지 않은가? 처음 말한 부분의 후자의 경우도 한 번 생각해보자. 지속적으로 자기 할 일을 잘 해온 사람이 있다고 해보자. 웬만한 쓰레기가 아니고서야 그 사람에게 일일히 간섭하고 일 시키는 일은 없다. 타인에게 개입하는 일은 껄끄럽기 때문에 웬만하면 안 한다. 그리고 그 사람이 잘못을 해도 막대한 피해를 끼...

필자가 건강검진을 받으러 병원에 가고자 버스를 타는 중이었다. 한 여자가 아이와 같이 버스를 탄 때에, 노인 한 명이 앞에 앉아있는 젊은이에게 강압적으로 일어나라며, 젊은이가 앉는 자리가 아니라는 소리를 했다. 그 여자가 아이를 대동하고 있으니 양보하라는 의미였을 것이다. 그 노인의 말에 젊은이는 일어나긴 했지만  결코 좋은 기분은 아니었을 것이다. 얼마 안가 젊은이는 목적지에 다달아 내렸고, 그 이후에 그 노인에게 날카롭게 흘기는 모습을 보였다. 아침부터 이래라 저래라 하는 소리를 들으니 결코 유쾌할 수가 없었을 것이다. 필자는 노인에게 좋은 평가를 해줄 수 없다. 일단 돈 내고 버스에 탄 이상 자리가 있을 때 앉을 권리는 누구에게나 있다. 노약 자석이라 할 지라도 그건 배려석이지, 의무적으로 양보하는 좌석이 아니기에 양보를 강요할 수 없다. 그리고 당사자가 양보를 요구하지 않았는데, 제 3자가 양보를 요구하는 꼴도 웃기는 상황이다. 자기가 버스에 전세 낸 것도 아니고 다같이 돈 내고 타는 입장인데, 나이가 많다는 이유로 젊은 사람에게 양보해라 마라 할 수 있느냐 말이다. 아이를 동반한 여자가 힘들어 보이면 자기가 양보할 수도 있는 일이다. 그러면 젊은 사람 입장에서 그 노인에게 양보를 해줄 가능성이 높다. 자기가 솔선수범해서 행동하면, 분위기도 좋고 자기 평판도 좋아지는데, 그러지 못해 다른 사람의 인상을 찌푸리게 했다. 어찌보면 이 노인은 앞만 보고 여유없이 바쁘게 살아와서 추상적 개념에 대한 분류가 잘 되지 않은 것 같다. 어찌보면 연민이 느껴지는 인물이기도 하다. 하지만 다른 개인의 권리를 함부로 침해해서 오지랖 부리는 건 사람 간에 기본 예의가 없는 일이다. 아무리 자기보다 젊은 사람한테라도 그 자의 개인 권리를 침해할 수 없기 때문이다. 아무리 못배웠어도 타인에 대한 배려가 있는 사람이면 다른 사람에게 사소한 걸로 소위 '...

옛날에 비해 교통과 통신이 발달되면서 외국인과 접할 기회가 많아진 것 같다. 기업과 국가같은 공적인 영역은 물론이고, 개인과 개인간의 교류도 국제적인 경우가 꽤 있다. 필자의 경우만 봐도 영어를 잘 하지 못하지만, 실제로 외국인 친구를 만나 얘기한 적이 있으며, 통신으로는 거의 매일 대화를 할 정도가 되었으니, 외국어가 아주 먼 얘기는 아닌 것 같다. 외국어를 할 수 있으면 받을 수 있는 혜택이 꽤 있을 것인데, 요즘 통신이 발달해 있기 때문에 전세계의 정보를 편하게 찾을 수 있어, 외국어를 할 수 있는 능력대로 많은 정보를 찾고 지식을 쌓아 나갈 수 있다. 하다 못해 야동을 찾더라도 외국어를 할 줄 알면, 우리나라 웹하드 같은 곳에 있는 거 이상으로 자기 취향에 맞게 능동적으로 좋은 것을 찾을 수 있다. 처음에 들었던 필자의 예 처럼 외국인과 대화할 수 있는 기회가 있고, 더 나아가 외국인과 일할 수도 있다. 그렇다고 해서 어릴 때 부터 이중언어를 써야하냐? 그건 또 아니라고 본다. 외국어에 대해 생각하기 전에 언어생활에 대해 생각해보자. 사람은 소리를 낼 수 있고, 그림을 그릴 수 있다. 하지만 사람이 내는 소리가 언어이고, 아무렇게나 표현한 낙서수준의 그림을 언어라고 할 수 있는가? 그렇지 않다. 그럼 언어는 무엇인가? 세상에서 인식한 걸 남들이 알아보게 표현하려면 상호 간에 표현 질서를 정립해야 한다. 소리나 그림에 개념 정립을 시켜 질서를 만들어 그 질서를 이성을 이용해 배열시킴으로써  타인이 알아먹을 수 있는 말과 글이 언어가 될 것이다. 질서라는 건 개념 정립이 아니겠는가? 그렇기에 머릿 속에 들은 확실한 개념이 없으면  제대로 된 언어 사용을 못한다는게 필자의 입장이다. 필자가 생각하는 언어 사용이란 것은  개념 정립과 작용 및 본질 파악, 질서에 따른 표현을 포함한다는 게 앞의 설...

흔히들 교육의 문제점을 얘기할 때, 주입식 교육이 문제라는 말을 많이 한다. 주입식 교육 때문에 자라나서  능동적이지 못하느니, 치우쳐진 사실만 알았느니 결국에 남는 게 없다느니 하는 불평섞인 소리가 많은데, 과연 주입식 교육이 나쁜 것인가 생각해보자. 주입식 교육이란 단어 자체가 좀 이상해보인다. 교육의 기본은 주입이므로, 교육은 주입이란 의미를 포함하는 말이기 때문이다. 이전 포스트 에서 얘기했던 것 처럼 어떤 것에 대한 질문이 끝없이 이어지면, 질문에 대한 설명이 무한히 이어져서 질문에 대한 답을 설명을 못해내는 현상이 생기므로, 해당 이론 체계의 시작인 공리나 정의가 있어야 한다고 했다. 세상에 대해 해석하고 판단을 하려면, 기본이 되는 공리나 정의는 피 교육자의 머리 속에 주입시킬수 밖에 없다. 'ㄱ'이게 '기역'이라고 정의된 이상 주입을 시켜야지, 왜 이름이 저런지 얘기하는 건  그냥 스토리 하나를 억지로 더 주입시키는 일이 되지 않는가? 교육에서 주입은 반드시 있어야하는 불가피한 일이다. 교육이란 단어에 주입식이란 수식어를 굳이 붙여가며 용어를 만든 이유를 생각해보자. 어떤 행위에는 응당 행위를 주체하는 자와 주체가 하는 행위에 이끌리는 자가 있다. 동사에 주어와 목적어가 필요한 것처럼 말이다. 교육도 교육을 주체하는 자와 교육을 받는 자가 있는데, 우선 교육이 이루어지는 과정을 같이 생각해보고, 주최하는 측과 피 교육자 측에서 생길 수 있는 문제점을 살펴보겠다. 주최하는 측은 교육 시스템이나 교육자 정도로 볼 수 있고, 교육 받는 대상자는 피 교육자 혹은 학생으로 볼 수 있을 것이다. 필자가 교육을 전공한 사람이 아니므로  교육 메커니즘을 자세하게 설명할 수 없는바, 교육의 과정을 아는대로 간단하게 얘기하면, 교육 시스템에 의해서 교육자가 피 교육자에게 지식을 주입시키는 과정이 ...

세계에는 여러가지 언어가 있다. 일단 필자의 모국어인 한국어가 있겠고, 통상적으로 대한민국에 살면서 가장 많이 접하는 영어도 있겠고, 이웃 나라의 언어인 중국어와 일본어도 있다. 그 외에도 세계에 수없이 많은 언어가 있다. 그럼에도 세계 공용어는 영어라고 한다. 출처 : 에스놀로그(22판), 2019.2.21.) 일단, 표를 보면, 영어 사용인구가 가장 많은 것은 아니다. 사용 인구 상으로 보면, 1위가 중국어고, 2위가 스페인어이다. 영어는 중국어, 스페인어 다음으로 4억 조금 안되는 인구가 쓰는 걸로 나와있다. 사용 국가 수를 보면, 확실히 영어가 137개로 압도적이다. 그래서 그런지 몰라도 영어의 가치가 상당히 높은 것 같다. 영어의 가치는 세계 1위로 책정이 되었는데, 2위인 독일과도 2배 이상 차이이다. 확실히 이런 사실들을 보면, 영어가 세계 공용어라는 사실이 더욱 체감되는 것 같다. 이런 사실들은 아마 과거 패권국인 영국과 현 패권국인 미국의 언어가 영어이기 때문이 클 것이다. 그리고 과거 영국은 식민지를 많이 거느렸으므로, 영어 사용 국가 수가 많아진 것으로 보인다. 중국어는 사용인구가 많은데 공용어가 될 수 있을까? 사용되는 국가 수도 적지 않은 것 같은데 말이다. 중국어 같은 경우에는 북경 표준어를 공통적으로 배우고 있지만, 지역별로 방언이 많이 심한 것 같다. 거의 다른 언어로 봐도 될 정도로 심한 것 같다. 그리고 문자도 걸림돌이 될 것 같다. 중국은 표의 문자인 한자를 쓰고 있는데, 저 위에 있는 나라들 중  음절 문자와 표의 문자를 섞어 쓰는 일본 빼고  거의 다 표음 문자를 쓰고 있다. 문자를 배우는데 많은 저항이 있을 것이다. 저기에 있는 강대국들이 거의 유럽 국가들인데, 러시아를 제외하곤 로마 자를 쓰고 있다. 로마 자는...

이전 포스트 에서 무한의 크기를 알아봤는데, 실수와 자연수 집합 크기의 관계를 규명하고자 글을 쓴다. 이 관계를 규명하기 위해서 멱집합( Power set )을 이용한다. 그래서 멱집합에 대해 먼저 얘기해보겠다. 집합 A가 있다고 하자. 그러면, A의 부분집합이 있을건데, 집합 A의 부분집합을 모아놓은 집합이 멱집합이다. 부분집합의 수는 해당 집합의 멱집합의 크기와 같다고 할 수 있다. 멱집합의 크기는 어떻게 정할 수 있을까? 이걸 얘기하기 전에 함수관계 수를 얘기하도록 하겠다. f : A -> B 가 있으면, A와 B의 연결을 여러가지 방식으로 할 수 있을 것이다. A에 있는 원소 a가 B에 있는 원소 아무 곳에나 갈 수 있기 때문에, 이 경우에 대한 수는 B의 크기와 같을 것이다. A의 다른 원소들도 마찬가지 이므로, 조합의 수는 각각 곱해야 된다. 각 경우에 대해 수형도를 그려보면 알 수 있을 것이다. 그러면, f의 함수 관계의 수는  (n(B))^(n(A)) 이렇다. A가 3개이고, B가 4개이면,  3^4=81 개의 함수를 만들 수 있다는 얘기다. 멱집합 얘기로 돌아와서 부분집합은 해당 집합의 원소를 넣느냐, 안 넣느냐로 결정되므로, 부분집합에 대한 표현은  해당 집합과 S={넣는다, 안 넣는다} 집합의 함수 관계로 만들 수 있다.  집합 A와 S의 함수를 만들 수 있는 함수의 수는 (n(S))^(n(A)) n(S)=2 이므로, 2^(n(A)) 가 된다. 따라서 A의 멱집합의 수는 2^(n(A)) 개가 된다. 멱집합과 해당 집합의 크기는 어떻게 될까? A의 멱집합을 P(A)라고 하자. P는 멱집합( Power set)의 머리글이다. f : A -> P(A) 함수가 있다고 하자. f(x)={x} 라고 하면, f는 일대일 함수가 된다. ...

이전 포스트 에서 무한에 대해 얘기했었다. 대표적인 무한 집합으로 자연수를 얘기했는데, 과연 자연수 집합의 크기보다 큰 집합이 있는지 궁금하다. 그래서 자연수보다 더 큰 집합인 정수, 유리수, 실수의 크기를 알아보도록하자. 정수는 Z, 유리수는 Q, 실수는 R로 놓고 앞으로 얘기를 전개해보겠다. 먼저 집합 Z 부터 보자. 자연수 집합 N과 Z를 함수관계로 만들때, 일대일 대응이 존재하면, 둘의 집합 크기는 같을 것이다. N은 Z의 진부분집합이고, N이 무한집합이므로 Z도 무한집합일 것이다. 둘 다 무한집합이므로, f : Z -> N 에서 일대일 대응인 f가 존재할 것이라는 말도 할 수 있을 것이다. 만약에 존재하면, 두 집합을 대등하다 볼 수 있을 것이다. f Z     N 0 -->1 -1--->2 1--->3 -2--->4 2--->5 . . . f(x) = 2x+1 (x>=0)     = -2x     (x<0) (x는 Z의 원소) 이런 조건으로 함수를 만든다고 하면, Z의 모든 원소는 충분히 N의 모든 원소와 일대일 대응관계를 만들 수 있을 것이다. 그래서, N~Z ( N과 Z는 대등관계) 이며, N과 Z의 크기는 같다. 정수와 같이 자연수의 크기와 같은 집합을  가산집합(countable set)이라고 한다. 수를 세는 방법을 쓸 수 있는 집합이라는 뜻이다. 이번엔 Q에 대해 알아보자 N은 Q의 진부분집합고, N이 무한집합이니 Q도 무한집합이다. Q의 원소는 a/b (a,b 정수)로 표현할 수 있으므로, Z x Z 로 표현할 수 있겠다. f : Z x Z -> Q 가 일대일 대응이 되는 f 가 존재 그러므로, Q ~ Z x Z 이다. X~...

무한, 끝이 없다는 말을 많이 들어봤을 것이다. 기호로는 뫼비우스 띠 닮은  ∞  이런 식으로 표기한다. 숫자 8을 90도로 기울인 모양이다. 무한의 표기는 어떻게 했다고해도 무한의 의미는 알기 힘들다. 가장 알기 좋은 방법은 집합과의 관계를 이용해서 표현이 아닐까 한다. 집합이란게 딴 거 없다. A={ a, b, c } 이런 걸 집합이라고 한다. a, b, c를 모은 집합이 A라는 뜻이다. 조금 더 발전된 형태로 문자와 그 특징을 표현해서 집합을 나타낼 수 있다. N={ x ㅣ x는 자연수 } x는 자연수인 집합 N 이렇게 말이다. N={1,2,...} 이렇게 표현할 필요가 없으니 조금 낫다고 볼 수 있다. 특징을 표현하려면, 참과 거짓이 분명히 드러나게 해야할 것이다. 그래야지 집합에 들어갈 수 있는 지 파악할 수 있지 않겠는가? 좀 전의 집합과의 관계라고 했는데, 두 집합 사이의 관계이다. 집합 A와 집합 B의 원소들의 관계를 만드는 일 말이다. 관계 중에서 특별한 관계가 있는데, 이게 함수 관계이다. f : A -> B 로 표현할 수 있는데, 이 때, A를 정의역이라고 하고, 첫번째, 모든 A의 원소가 B의 원소에 대응되어야 한다. 대응이란게 f라는 관계로 맺어져야 한다는 의미이다. 두번째는 각 A의 원소는 B의 원소 중 하나에만 대응되어야 한다. A의 원소 a가 있으면,  B의 원소 중 하나에만 관계가 맺어져야 한다는 뜻이다. a를 f로 관계 맺은 값을 f(a)라고 하면, f(a) 값이 여러개가 되면 안 된다는 말이다. 간단하게 그리면 f A        B a ---> x b ---> y c ---- ↗ 이런 식의 관계를 맺게끔 하면,  f : A -> B 는 함수관계라는 것...